Гамма-функция/ Гипергеометрическая функция/ Регулярные особые точки дифференциального уравнения/ Функция Бесселя/ Явление Стокса/ Функция Вейерштрасса/ Эллиптические функции Якоби/ Тэта-функции/ Интегрируемые волчки/ Уравнение Хилла и теория Флоке/ Функции Матье/ Уравнение Ламе/ Вопросы к экзамену

Предисловие

Курс лекций посвящен знакомству со специфическим разделом математики - специальными функциями. Метод исследования свойств спецфункций основан на анализе решений дифференциальных уравнений. Можно скачать весь Курс лекций в формате PostScript (zip-файл 261 kB), в формате PDF (gz-файл 367 kB) или читать отдельные лекции в формате HTML

Лекция 1 Гамма-функция.

Интегральное представление гамма-функции получено как решение разностного уравнения. Исследовано поведение гамма-функции в полюсах. Выведена формула для произведения гамма-функций.

Лекция 2 Гипергеометрическая функция.

Гипергеометрическая функция - обобщение геометрической - прогрессии обладает рядом замечательных свойств, благодаря которым она привлекала внимание математиков в течении по крайней мере двух веков. Изучение этой функции привело Гаусса к исследованию вопроса сходимости рядов, Римана - к задаче об аналитическом продолжении и к изучению дифференциальных уравнений с особыми точками.

Лекция 3 Регулярные особые точки дифференциального уравнения.

Классифицированы особые точки дифференциальных уравнений второго порядка.

Лекция 4 Функция Бесселя.

Построен сходящийся ряд функции Бесселя. Выведено разностное уравнение для функций Бесселя разных порядков. Получено интегральное представление и асимптотика функции Бесселя в бесконечно удаленной точке.

Лекция 5 Явление Стокса.

Строго говоря, явление Стокса имеет отношение к асимптотическим рядам для специальных функций, а не к самим специальным функциям. Однако, часто функции определяются с помощью рядов и, в частности, рядов асимптотических. В такой ситуации обсуждение явления Стокса выглядит вполне уместным. В этой лекции функции Ганкеля вводятся через их асимптотики в комплексной плоскости и обсуждается асимптотическое поведение этих функции в окрестности точки ветвления бесконечного порядка.

Лекция 6 Функция Вейерштрасса.

Здесь P-функция Вейерштрасса введена как решение уравнения первого порядка на римановой поверхности рода 1. Показано, что эта функция двоякопериодическая. Приводится терема Лиувилля для эллиптической функции.

Лекция 7 Эллиптические функции Якоби.

Исследована функция синус амплитуды комплексного аргумента. Выписаны приближенные представления этой функции при значениях параметра близких к нулю и единице.

Лекция 8 Тэта-функции.

Тэта-функции - удобный аппарат для вычислений из-за простоты аналитических свойств и быстрой сходимости рядов их определяющих. Поэтому часто вычисления, связанные с эллиптическими функциями проводятся именно в терминах тэта-функций.

Лекция 9 Интегрируемые волчки.

В этой лекции приводятся примеры задач из механики, которые решаются с использованием аппарата эллиптических и гиперэллиптических функции. Эти примеры взяты из теории движений твердого тела вокруг неподвижной точки. Это хорошо известные волчки Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. По существу эти примеры, если не считать случай Гесса-Аппельрота (вырождение волчка Ковалевской), исчерпывают интегрируемые движения твердого тела.

Лекция 10 Уравнение Хилла и теория Флоке.

В этой лекции исследуются свойства решений уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом. Изложена теория Флоке и построен пример решения уравнения со ступенчатой периодической функцией.

Лекция 11 Функции Матье.

Приведены примеры, из математической физики и механики, в которых возникает уравнение Матьё. Дано определение функций Матьё и указан алгоритм их построения.

Лекция 12 Уравнение Ламе.

Приводится вид уравнения Ламе и кратко объясняется происхождение и общий вид функций Ламе. Основное внимание уделено решению уравнения Ламе в специальном случае в терминах эллиптического синуса Якоби.

Вопросы к экзамену

© О.М.Киселев, 1999-2000 гг. Тираж: Обновлено: 13.05.2000 ©DesignIR