Введение в теорию нелинейных колебаний

• Предисловие

  Это учебное пособие написано по курсу лекций, читавшемуся в течение нескольких лет студентам пятого курса Уфимского Госудаственного Авиационного Технического Университета, специализирующимся по прикладной математике. Основная цель - познакомить с методами исследования обыкновенных нелинейных уравнений. Изложение материала по возможности индуктивно, от простого к сложному, и основано исключительно на примерах. Часто глубокие и громоздкие математические теории возникают при обобщениях решений одной или нескольких хорошо изученных и понятых задач. Подробный анализ решений этих задач представляется намного более важным при изучении некоторых разделов математики, чем формулировки и доказательства десятков теорем.

   

• Лекция 1

  Линейные системы.

  Здесь изучается уравнение гармонического осциллятора с притягивающей и отталкивающей силой. Вводится понятие фазовой плоскости фазовых кривых и сепаратрис. Показано возникновение проблемы малых знаменателей в решении уравнения гармонического осциллятора с возбуждающей силой.

   

• Лекция 2

  Уравнение Штурма-Лиувилля с периодическим коэффициентом.

  В этой лекции проведено знакомство с уравнениями с периодическими коэффициентами на примере уравнения Штурма-Лиуввиля. Показано чрезвычайно важное для дальнейшего изложения явление параметрического резонанса. В качестве примера построена функция Блоха в случае ступенчатого периодического коэффициента.

   

• Лекция 3

  Математический маятник.

  Здесь подробно исследуется движение математического маятника. Выписывается решение в эллиптических функциях. Исследуется движение маятника вблизи положения устойчивого равновесия и в окрестности сепаратрисы.

   

• Лекция 4

  Эллиптические функции.

  Здесь эллиптические функции Якоби вводятся как решения дифференциальных уравнений. Исследуются свойства функций синус амплитуды, косинус амплитуды и дельта амплитуды как функций вещественного переменного. Изложение не касается свойств эллиптических функций относительно комплексной переменной и, в частности, наличия у таких функций двух периодов.

   

• Лекция 5

  Аппроксимация функций Якоби.

  Изучается поведение эллиптической функций sn(t|k) в окрестности точки t=0 и в окрестностях значений модуля k=0, k=1.

   

• Лекция 6

  Устойчивость решений нелинейных уравнений.

  Здесь напоминаются определения устойчивости решений уравнений с одной степенью свободы, начиная с классификации точек равновесия и заканчивая усточийвостью по линейному приближению. Основное внимание уделено исследованию устойчивости решений уравнения математического маятника. Показано, что периодическое решение уравнения математического маятника не является устойчивым по Ляпунову, а сепаратрисное решение неустойчиво.

   

• Лекция 7

  Элементы теории бифуркаций.

  Теория бифуркаций изучает, как меняются решения при изменении параметров уравнений. Здесь подробно рассмотрены простейшие бифуркации консервативных систем второго порядка: типа седло-центр, бифуркация удвоения. Простейшие бифуркации интересны тем, что они чаще всего возникают в приложениях теории дифференциальных уравнений. Например, бифуркация типа седло-центр приводит к потере устойчивости решения и отвечает за жесткий режим возникновения колебаний. Бифуркация удвоения играет важную роль в описании возникновения турбулентности в модели турбулентности Ландау. Более сложные бифуркации, как правило, соответствуют вырожденным случаям и, поэтому, встречаются реже. Приведен пример нелокальной бифуркации - перестройки сепаратрис.

   

• Лекция 8

  Принцип наименьшего действия.

  В этой лекции уравнения механики выводятся из принципа наименьшего действия для функции Лагранжа. Введена функция Гамильтона. Приведен общий вид уравнений для консервативной системы. Сформулирована теорема Лиувилля о фазовом потоке и теорема Пуанкаре о возвращении.

   

• Лекция 9

  Примеры вполне интегрируемых систем.

  Здесь с различной степенью подробности разобраны примеры нелинейных вполне интегрируемых механических систем. Задача Кеплера, волчок Эйлера и волчок Ковалевской.

   

• Лекция 10

  Теорема Лиувилля об интегрируемых системах.

  В этой лекции вводится понятие о скобках Пуассона, коммутирующих фазовых потоках. Построены переменные действие-угол и сформулирована теорема Лиувилля о вполне интегрируемых системах.

   

• Лекция 11

  Теория возмущений.

  В этой лекции вводится понятие прямого ряда теории возмущений, формулируется теорема Пуанкаре об аналитической зависимости решения системы от параметра. Прямые разложения теории возмущений, не позволяют исследовать решения нелинейных уравнений на большом интервале времени, потому что ряды по малому параметру, о которых говорится в теореме Пуанкаре, перестают сходиться. С формальной точки зрения это часто означает, что надо переразложить ряд или, что то же самое, ввести какое-нибудь другое определение суммирования. Технически же обычно меняют вид разложения. В частности коэффициенты разложения по малому параметру e сами становятся зависимы от этого малого параметра.

   

• Лекция 12

  КАМ-теорема.

  В этой лекции рассматриваются неинтегрируемые возмущения интегрируемых гамильтоновых уравнений. В качестве примера изучаются нерезонансные колебания. возмущенного уравнения Дуффинга. Их исследование приводит, во-первых, - к необходимости уточнения термина "нерезонансный", во-вторых, - к общей формулировке задачи о нерезонансных колебаниях. Такая задача и ответ на нее сформулированы в знаменитой теореме Колмогорова-Арнольда-Мозера. Приведено доказательство теоремы Арнольда.

   

• Лекция 13

  Резонансные возмущения. Теорема о неинтегрируемости.

  Построено периодическое решение осциллятора Дуффинга с резонансным возмущением. Это периодическое решение неаналитично по параметру возмущения e- оно разлагается в ряд по дробным степеням e. Доказана теорема о неинтегрируемости резонансно возмущенных гамильтоновых систем.

   

• Лекция 14

  Авторезонанс.

  Выведено уравнение главного резонанса и исследованы его решения - все они ограничены. Это препятствует росту решения при периодических резонансных возмущениях. Исследовны непериодические резонансные возмущения. Объяснена природа явления авторезонанса, открытого Векслером и МакМилланом. Исследованы решения неавтономного уравнения главного резонанса.

   

• Лекция 15

  Метод малого параметра для решения с конечной амплитудой.

  Периодические решения, построенные раенее с помощью теории возмущений, обладают одним существенным ограничением - это решения достаточно малой амплитуды. Они основаны на решении линейного уравнения. Здесь построено периодическое решение, базирующееся на решении нелинейного уравнения. При этом вместо линейных уравнений с постоянными коэффициентами приходится решать нелинейное уравнение для главного члена формального решения и линеаризованные с периодическими коэффициентами - для поправок.

   

• Задачи к экзамену (осенний семестр 2003-04 уч.года)

   

• Вопросы к экзамену (осенний семестр 2003-04 уч.года)